Для привязки открытия виджета к нескольким элементам на странице передайте нужное название класса в параметре buttonClass. При этом стандартная кнопка будет скрыта (тип кнопки будет считаться как none).
Если вы хотите показать так же стандартную кнопку, то нужно дополнительно явно передать параметр buttonType в значении circle" или rectangle.
<button class="MedkartaOnline">Кнопка записи</button>
<a href="#" class="MedkartaOnline">Ссылка на запись</a>
<script src="https://medkarta.online/local/widgets/record/script.js?v1" type="text/javascript" charset="windows-1251"></script>
<script>
MedkartaOnlineRecord.init({
guid: '#guid#',
buttonClass: "MedkartaOnline",
buttonType: "circle"
});
</script>